Doctorant F/H [Campagne, welcome package] Analyse mathématique et méthodes numériques pour les systèmes métastables en physique statistique

La dynamique moléculaire peut être vue comme la réalisation pratique de la physique statistique, qui permet en principe d'obtenir des quantités macroscopiques à partir de lois d'interactions microscopiques entre les atomes composant un système physique. Ces lois sont encodées dans une fonction d'énergie potentielle. Les propriétés d'équilibre (comme la loi d'état d'un fluide ou sa capacité calorifique) sont obtenues comme des moyennes par rapport à des mesures de probabilité en dimension très grande, qui décrivent l'état macroscopique du système, typiquement une mesure de Boltzmann-Gibbs. Ces intégrales sont approchées en pratique par des moyennes ergodiques le long de trajectoires de dynamiques, notamment des discrétisations d'équations différentielles stochastiques comme l'équation de Langevin. Au-délà des propriétés d'équilibre, il est également intéressant de calculer des propriétés dynamiques. Un premier exemple est donné par les coefficients de transport, qui relient une perturbation induite sur le système et sa réponse en terme de flux (par exemple le flux d'énergie en réponse à un gradient de température pour la conductivité thermique). Un second exemple est le calcul des constantes de réaction pour des transformations chimiques, ou plus qualitativement les chemins de transitions possibles menant d'un état métastable à une autre.

Alors que de nombreuses méthodes ont été développées au cours des années pour calculer efficacement des propriétés d'équilibre (algorithmes d'échantillonnage non réversibles, méthodes de réduction de variance fondées sur l'utilisation de fonctions d'importance telles que l'énergie libre, le calcul des propriétés dynamiques reste encore coûteux. La difficulté essentielle réside dans la métastabilité des systèmes physiques, à savoir le fait qu'ils restent longtemps coincés dans un mode de la mesure de probabilité cible, avant de passer relativement rapidement à un autre mode de probabilité. Les états métastables peuvent correspondre par exemple à différentes conformations d'une molécule biologique, ou aux réactifs et produits d'une réaction chimique.

Le calcul des temps moyens pour passer d'un état à un autre, et la détermination de la loi des portions de trajectoires permettant de relier deux états métastables (trajectoires réactives), est une tâche difficile, voire impossible, avec des méthodes de simulation numérique directe. Il faut donc développer des algorithmes dédiés à l'échantillonnage de ces événements rares.

L'objectif de la thèse est de développer et améliorer des algorithmes d'échantillonnage d'événements rares, en transformant la compréhension acquise par une analyse mathématique en des méthodes numériques efficaces. Cette approche générale sera abordée selon divers angles.

Pour une meilleure connaissance du sujet de recherche proposé :
Un état de l'art, une bibliographie, des références scientifiques et une description détaillée du sujet de thèse sont disponibles à l'URL suivante :

    https://urbain.vaes.uk/static/jobs/sujet_these.pdf

Directeurs de thèse :
Le directeur de thèse sera Tony Lelièvre, avec Urbain Vaes en co-encadrant et Gabriel Stoltz en collaborateur.

Question 1. Quantifier l’erreur faite sur les temps moyens de sortie et la distribution des points de sortie lorsque l’on ampute le disque de petites portions autour des trous de sortie. Cette quantification se fera à la fois du point de vue théorique (probablement en étudiant le processus stochastique sous-jacent) et numérique.

Question 2. Généraliser les estimées fondées sur la méthode spectrale à des domaines généraux, en dimension quelconque, et proposer de bonnes approximations de l’état fondamental du générateur pour des domaines quelconques en dimension 2.

Question 3. Quantifier l’influence de la conditions initiale sur les temps de sortie et sur la distribution des points de sortie, en comparant plus précisément les résultats obtenus pour une condition initiale distribuée selon la mesure quasi-stationnaire, et une condition initiale de type Dirac en un point intérieur du domaine. Intuitivement, la différence devrait être petite si le système reste coincé assez longtemps avant de sortir. D’un point de vue technique, la preuve de telles affirmations repose sur la leveling property, qui assure que la distribution quasi-stationnaire est assez plate loin des trous, au moins si la dimension est assez grande pour que la solution fondamentale du Laplacien ait une décroissance suffisamment rapide.

Question 4. Caractériser les temps de sortie et la distribution des points de sortie lorsque la dynamique Brownienne est remplacée par une dynamique inertielle de type Langevin. Pour traiter cette situation, une suggestion est d’adapter les résultats du cas de barrières énergétiques, obtenus dans la litérature, au cas de barrières entropiques.

Question 5. Outre ces questions théoriques, il est important également de comprendre comment utiliser au mieux les estimations obtenues pour développer des méthodes numériques efficaces. En particulier, peut-on utiliser les résultats théoriques obtenus ci-dessus pour obtenir efficacement la suite des états visités par un système, ainsi que les temps associés, dans une approche de type Monte Carlo cinétique. Pour ce faire, on fera le lien avec les algorithmes de type accelerated molecular dynamics, en particulier temperature accelerated molecular dynamics, l’extrapolation en température étant remplacée par une extrapolation sur la taille des trous. Concrètement, cela revient à effectuer un jeu de simulations pour des trous relativement grands, afin de déterminer ce qui se passe pour les trous de la taille cible.

Programmation : bonne maîtrise d'un langage de programmation tel que Julia ou Python

Langues : français, anglais

Compétences additionnelles appréciées : capacité de présentation

• Restauration subventionnée
• Transports publics remboursés partiellement
• Congés: 7 semaines de congés annuels + 10 jours de RTT (base temps plein) + possibilité d'autorisations d'absence exceptionnelle (ex : enfants malades, déménagement)
• Possibilité de télétravail
• Aménagement du temps de travail (après 12 mois d'ancienneté)
• Équipements professionnels à disposition (visioconférence, prêts de matériels informatiques, etc.)
• Prestations sociales, culturelles et sportives (Association de gestion des œuvres sociales d'Inria)
• Accès à la formation professionnelle
• Sécurité sociale

Selon les grilles de la fonction publique