2019-01364 - Doctorant F/H Étude des systèmes couplés fluide-structure en formulation vorticité-courant : Analyse mathématique et simulations numériques [S]
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Contract type : Public service fixed-term contract

Level of qualifications required : Graduate degree or equivalent

Fonction : PhD Position

Context

Présentation du problème et contexte :

L'écoulement des fluides visqueux incompressibles est gouverné par les équations de Navier-Stokes. Ces équations ont pour inconnues un champ de vecteurs (les vitesses) et un champ scalaire (la pression). Une approche alternative intéressante consiste à considérer comme inconnue unique le champ de vorticité (un champ scalaire en dimension 2). L'équation satisfaite par la vorticité est en effet de facture très classique : c'est une équation scalaire, de type parabolique et comprenant un terme d'advection non linéaire. Malheureusement, les conditions aux limites habituellement considérées pour un fluide visqueux (annulation de la vitesse sur le bord du domaine occupé par le fluide traduisant l'adhérence du liquide) n'ont pas de contrepartie simple en termes de vorticité. Ceci explique probablement la raison pour laquelle la plupart des résultats théoriques disponibles concernent le cas particulier où le fluide remplit tout l'espace [1], [2].

Il convient de noter que l'équation de vorticité ne constitue pas seulement une alternative simple et attractive aux équations de Navier-Stokes. C'est aussi un outil indispensable dans l'établissement de résultats théoriques. La vorticité entre par exemple dans l'étude du comportement en temps long des écoulements [3] et dans l'analyse de la limite en viscosité évanescente [4, chap. 15]. Ce dernier point est d'ailleurs l'un des problèmes les plus stimulant à l'heure actuelle en mécanique des fluides. Il consiste à montrer que lorsque la viscosité du fluide s'approche de zéro, le fluide visqueux tend à se comporter comme un fluide parfait (dont l'écoulement est gouverné pour les équations d'Euler). Enfin, la vorticité joue également un rôle prépondérant en théorie de la turbulence.

D'un point de vu numérique, l'intérêt de remplacer un système d'équations vectorielles par une équation scalaire semble évident. Il faut cependant noter que dans une grande majorité des publications sur le sujet, les conditions aux limites usuelles d'adhérence du fluide sur le bord du domaine sont remplacées par des conditions plus simples à gérer numériquement (comme par exemple l'annulation de la vorticité ou de son flux). Ces conditions sont parfois physiquement pertinentes mais le système obtenu n'est alors plus équivalent aux équations de Navier-Stokes. Une revue des méthodes numériques basées sur une reformulation en vorticité-courant des équations de l'écoulement peut être trouvée dans [5]. Il semble que les résultats les plus susceptibles de conduire à un développement intéressant tant du point de vue théorique que numérique sont ceux obtenus par Quartapelle et ses collaborateurs [6]. Ces auteurs montrent que les conditions d'adhérence du fluide sur le bord sont équivalentes à une condition d'orthogonalité dans l'espace L2 pour la vorticité (c'est à dire une condition intégrale et donc non locale). Bien que de type volumique, le coût numérique de cette condition n'est cependant pas supérieur à celui de conditions aux limites classiques (de type Dirichlet ou Neumann) pour ce genre de problème.

Bibliographie

[1] I. Gallagher, T. Gallay, and P.-L. Lions. On the uniqueness of the solution of the two-dimensional Navier-Stokes equation with a Dirac mass as initial vorticity. Math. Nachr., 278(14):1665-1672, 2005.

[2] I. Gallagher and T. Gallay. Uniqueness for the two-dimensional Navier-Stokes equation with a measure as initial vorticity. Math. Ann., 332(2):287–327, 2005.

[3] T. Gallay and C. E. Wayne. Long-time asymptotics of the Navier-Stokes and vorticity equations on R3. R. Soc. Lond. Philos. Trans. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 360(1799):2155–2188, 2002. Recent developments in the mathematical theory of water waves (Oberwolfach, 2001).

[4] Y. Giga and A. Novotny ́, editors. Handbook of mathematical analysis in mechanics of viscous fluids. Springer, 2018.

[5] M. Napolitano, G. Pascazio, and L. Quartapelle. A review of vorticity conditions in the numerical solution of the w-y equations. Comput. & Fluids, 28(2):139-185, 1999.

[6] L. Quartapelle and F. Valz-Gris. Projection conditions on the vorticity in viscous incompressible flows. Internat. J. Numer. Methods Fluids, 1(2):129-144, 1981.

 Environnement : Équipe Sphinx et équipe EDP de l'IECL

Le ou la doctorant.e sélectionné.e effectuera son activité de recherche au sein de l'équipe Sphinx et de l'équipe EDP (équations aux dérivées partielles) de l'IECL (Institut Elie Cartan de Lorraine).

Il ou elle y trouvera un environnement scientifique stimulant ainsi que de nombreux interlocuteurs potentiels, la mécanique des fluides (sous ses aspects théoriques aussi bien que numériques) comptant parmi les thèmes de recherche fondamentaux de ces deux équipes. Le ou la doctorant.e sera par exemple invité.e à assister chaque semaine à un groupe de travail et un séminaire donné par un.e invité.e premier plan. En plus des séances de travail régulières avec les encadrants (A. Munnier et T. Takahashi), ce rendez-vous hebdomadaire traitant de sujets variés dans le domaine des EDP permettra au ou à la candidat.e d'étoffer ses connaissances sur ce sujet.

 

Assignment

Description du sujet

Les membres de l'équipe Sphinx s'intéressant à la mécanique des fluides ont développé depuis plus d'une décennie une expertise particulièrement pointue dans l'analyse des systèmes mécaniques modélisant les interactions entre une structure (qui peut être rigide ou déformable) et un fluide. De tels systèmes se rencontrent fréquemment, par exemple en médecine (écoulement sanguin), aéronautique (conception de fuselage d'avions) ou en biologie (étude de la locomotion des mammifères marins et micro-organismes). Classiquement, l'étude de ces systèmes est réalisée en considérant les variables dites primitives pour le fluide (c'est à dire le champ des vitesses et le champ de pression).

Le premier objectif de la thèse sera de reformuler les équations gouvernant la dynamique du système en utilisant les variables non primitives (vorticité et fonction courant). Cette tâche nécessite la traduction en termes de variables non primitives non seulement des conditions aux limites vérifiées par le fluide (comme déjà expliqué plus haut) mais aussi du tenseur des forces hydrodynamiques responsables du déplacement et de la déformation de la structure immergée. Une fois cette étape de modélisation effectuée, il conviendra de montrer l'équivalence du système obtenu avec le système initial et réaliser son analyse mathématique (déterminer un cadre fonctionnel bien adapté permettant de prouver l'existence de solutions). L'étude de modèles asymptotiques (temps long, viscosité petite ou taille des corps immergés tendant vers 0) pourra également être envisagée à ce stade.

Parallèlement à l'établissement de ces résultats théoriques, le ou la candidat.e retenu.e devra développer un code de calcul permettant la simulation  numérique de ces problèmes. Pour commencer, l'exemple simple d'un solide rigide immergé et mue simplement par les forces hydrodynamiques exercées par le fluide sera considéré. Bien que simple dans sa formulation, cet exemple comporte déjà les principales difficultés inhérentes à ce type de problème (en particulier, le fait que le domaine occupé par le fluide dépende de la position et de l'orientation, a priori inconnues, du solide). Dans un deuxième temps, on pourra considérer le cas plus complexe des corps autopropulsés (les nageurs), pour lesquels il est bien connu que le rôle joué par les tourbillons est fondamental. L'approche de ce problème en formulation vorticité-courant apparait donc comme particulièrement prometteuse.

 

Main activities

En plus de son travail de recherche, le ou la doctorant.e sera également amené.e à présenter ses travaux dans les principales conférences et congrès de mathématiques appliquées et analyse numériques (CANUM, congrès de la SMAI...).

Skills

Les candidat.e.s devront présenter de solides compétences en analyse des EDP et plus spécifiquement en mécanique des fluides.

Benefits package

  • Restauration subventionnée
  • Transports publics remboursés partiellement
  • Congés: 7 semaines de congés annuels + 10 jours de RTT (base temps plein) + possibilité d'autorisations d'absence exceptionnelle (ex : enfants malades, déménagement)
  • Possibilité de télétravail (après 6 mois d'ancienneté) et aménagement du temps de travail
  • Équipements professionnels à disposition (visioconférence, prêts de matériels informatiques, etc.)
  • Prestations sociales, culturelles et sportives (Association de gestion des œuvres sociales d'Inria)
  • Accès à la formation professionnelle
  • Sécurité sociale

Remuneration

1982,00€ brut mensuel les deux premières années (1594,00€ net)

2085,00€ brut mensuel la 3ème année (1677,00€ net)