2019-01443 - Doctorant F/H Approximation-diffusion pour des équations dispersives.
The offer description below is in French

Contract type : Public service fixed-term contract

Level of qualifications required : Graduate degree or equivalent

Fonction : PhD Position

About the research centre or Inria department

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Context

 

L’ objectif est de :
Le sujet de cette thèse porte sur des problèmes multi-échelles et aléatoires dans le cadre d’ondes dispersives non linéaires. L’équation non linéaire de Schrödinger (NLS) et l’équation de Korteweg-de Vries (KdV) sont des prototypes d’équations décrivant ces phénomènes, qui peuvent intervenir dans des contextes physiques aussi variés que la physique des plasmas, l’optique non linéaire ou les ondes hydrodynamiques. Elles sont obtenues lorsque certains paramètres sont petits dans des systèmes physiques plus complexes (par exemple les équations de Maxwell pour l’optique non linéaire, ou les équations d’Euler avec surface libre, ou problème des vagues, pour les ondes de surface). Les bruits sont souvent rencontrés dans la modélisation de phénomènes complexes (modélisation de fluctuations diverses, comme par exemple celle dues à la température) et introduisent une nouvelle échelle : la corrélation temporelle et/ou spatiale du bruit. On doit alors, pour obtenir des
modèles asymptotiques, traiter simultanément deux limites : une de type déterministe et une aléatoire, cette dernière rentrant dans le champ de l’approximation-diffusion, dès lors que les longueurs de corrélation temporelles du bruit sont très inférieures à celles du phénomène déterministe étudié. Ces étapes sont donc nécessaires pour justifier rigoureusement les (nombreux) modèles d’EDP stochastiques dispersives utilisés dans la littérature physique, même si aucun résultat de justification complète n’existe pour l’instant. C’est dans cette direction que s’inscrit le sujet de cette thèse.

Assignment

Missions :
On s’intéressera en particulier aux travaux de N. Masmoudi et K. Nakanishi (voir [4, 5]), qui obtiennent l’équation de NLS à partir du système de Klein-Gordon-Zakharov, qui décrit l’interaction entre les ondes de Langmuir et les ondes sonores ioniques dans les plasmas, et qui est lui même obtenu à partir d’un couplage entre les équations d’Euler pour les électrons et les ions et des équations de Maxwell pour le champ électrique . On ajoutera un bruit de longueur de corrélation non nulle et étudiera des problèmes d’approximationdiffusion. Le but étant d’obtenir rigoureusement des équations stochastiques à la limite. On commencera par des modèles simplifiés afin de développer les outils nécessaires. On s’appuiera sur des travaux récents sur des problèmes similaires mais dans le cadre de limite fluide d’équations cinétiques, ou encore sur d’autres travaux sur des systèmes de NLS couplés, mais comportant des bruits de dimension finie

Pour une meilleure connaissance du sujet de recherche proposé :
[1] A. de Bouard, M. Gazeau, A diffusion approximation theorem for a nonlinear PDE with application to random birefringent optical fibers, Annals of Applied Probability, vol. 22, p. 2460-2504 (2012).

[2] A. Debussche, J. Vovelle, Diffusion limit for a stochastic kinetic problem, Commun. Pure Appl. Anal., 11, 6, pp. 2305-2326 (2012).

[3] A. Debussche, J. Vovelle, Approximation - diffusion in stochastically forced kinetic equations, Prépublication (2017).

[4] N. Masmoudi, K. Nakanishi, From the Klein-Gordon-Zakharov system to the Nonlinear Schrödinger equation, Journal of Hyperbolic Differential Equations, vol. 2, p. 975-1008 (2005).

[5] N. Masmoudi, K. Nakanishi, Energy convergence for singular limits of Zakharov type systems, Invent. Math. vol. 172, p. 535-583 (2008).
[6] J. P. Fouque, J. Garnier, G. Papanicolaou, and K. Sølna, Wave propagation and time reversal in randomly layered media, volume 56 of Stochastic Modelling and Applied Probability, Springer, New York, 2007.
[7] G. C. Papanicolaou, D. Stroock, and S. R. S. Varadhan, Martingale approach to some limit theorems, Duke Univ. Math. Ser., Vol. III, 1977.

 

 

Main activities

La ou le candidat devra pourvoir proposer, rédiger et diffuser des solutions.

Skills

Compétences techniques et niveau requis : M2 Mathématiques

Langues : Français, Anglais

 

Benefits package

  • Restauration subventionnée
  • Transports publics remboursés partiellement
  • Équipements professionnels à disposition (visioconférence, prêts de matériels informatiques, etc.)
  • Prestations sociales, culturelles et sportives (Association de gestion des œuvres sociales d'Inria)
  • Accès à la formation professionnelle
  • Sécurité sociale

Remuneration

rémunération mensuelle brute de :

  • 1982 euros les deux premières années et
  • 2085 euros la troisième année