Doctorant F/H Types d’ordre, décomposition et complexité

L'équipe-projet INRIA Gamble fait partie de l'INRIA Nancy Grand Est ainsi que du département Algorithmes, calcul et géométrie du laboratoire LORIA de l'Université de Lorraine.

https://gamble.loria.fr/

Cette thèse porte sur des questions de géométrie combinatoire et plus précisément sur les propriétés de structures discrètes induites par des ensembles finis de points du plan.

Chirotopes réalisables. À tout vecteur fini P = (p1,p2, \ldots, ) de n points de R² on peut associer une fonction, appelée chirotope de P, qui à tout triplet (i,j,k) de [n]={1, 2, ..., n} associe 1 (resp. -1, 0) si p_k est à gauche de (resp. à droite de, sur) la droite p_ip_j, orientée de p_i à p_j. Cette fonction détermine de nombreuses propriétés du vecteur P, par exemple son ensemble de points extrêmes, ou encore les graphes qu'il est possible de dessiner sans croisement par arêtes droites à sommet dans P. Les chirotopes de vecteurs de points sont dits réalisables. (Les types d'ordre mentionnés dans le titre sont des reformulations de ces chirotopes.)

Motivation. Voici quelques exemples de questions largement étudiées, et encore ouvertes, qui peuvent s'exprimer en terme de chirotopes~:

• Quel est la taille du plus grand vecteur de points du plan sans triplet aligné et sans n points en position convexe ? (Erd\"os et Szekeres ont montré que c'est au moins 2^{n-2}+1 et ont conjecturé que c'est la bonne réponse, la meilleure borne connue est essentiellement 2^{n+6n^{2/3}\log n}.)
• Quel est le nombre maximum de partitions d'un vecteur de 2n points du plan par une droite en deux parts égales ? (Les meilleures bornes connues sont ne^{\Omega(\sqrt{\log n})} et O(n^{4/3}).)
• Quels sont les nombres minimum et maximum de triangulations d'un vecteur de n points du plan sans triplet aligné ? (Tout vecteur a \Omega(2.63^n) et O(30^n) triangulations, et les exemple extrêmes connus ont O(3.47^n) et \Omega(9.08^n) triangulations.)
• Quel est le nombre minimum de croisements dans un dessin à arêtes droites du graphe complet K_n ? (Les meilleures bornes connues sont 0.3799 {n \choose 4} et 0.3805{n \choose 4}.)

Deux vecteurs de points de même chirotope sont équivalents pour chacunde ces problèmes.

Complexité. Explorer l'espace des chirotopes réalisables de taille n s'avère une question difficile informatiquement.  Cela est illustré
par le problème algorithmique de la {\em réalisabilité}, qui demande, étant donnée une fonction [n]^3 \to \{-1,0,+1\}, de décider s'il existe un vecteur de points dont c'est le chirotope. Ce problème est non seulement NP-difficile, mais il est complet pour la théorie existentielle des réels et son appartenance à la classe NP est une question ouverte. Cette difficulté trouve son origine dans le théorème d'universalité de Mnëv, qui énonce que l'espace de realisation d'un chirotope peut avoir une topologie arbitrairement compliquée. Ainsi, les questions de comptage, d'énumération et de génération aléatoire restent aujourd'hui largement ouvertes.

L'objectif de la thèse est d'approfondir l'étude des types d'ordre réalisables. Les angles d'approche proposés incluent en particulier :

• L'étude des arbres de décomposition modulaire de chirotopes introduits récemment par Bouvel, Feray, Goaoc et Koechlin (SoCG 2024), tant sur les aspects algorithmiques que sur l'application de ces arbres à l'étude des propriétés de chirotopes.
• L'étude des chirotopes à motifs interdits, et l'étude de généralisation du théorème de Marcus-Tardos sur les permutations à motifs exclus.
• L'étude de raffinements des types d'ordre, notamment les higher-order order types dont l'analyse a été initiée par Kalai, Matousek, Bukh, White, Por, ..., ou encore les allowable sequences de Goodman-Pollack et les sorting networks.

Étudier l'état de l'art, concevoir des algorithmes et analyser leur complexité, prouver de nouvelles propriétés de géométrie discrète, ...

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• Congés: 7 semaines de congés annuels + 10 jours de RTT (base temps plein) + possibilité d'autorisations d'absence exceptionnelle (ex : enfants malades, déménagement)
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• Équipements professionnels à disposition (visioconférence, prêts de matériels informatiques, etc.)
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• Accès à la formation professionnelle
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2100 € brut/mois la 1ère année