Doctorant F/H Campagne Doctorant : Résolution de systèmes algébriques et semi-algébriques

Le travail se déroulera au sein de l'équipe-projet OURAGAN (https://team.inria.fr/ouragan) , basée à l'Institut de Mathématiques de Jussieur Paris-Rive Gauche.

Le sujet proposé fait appel à la fois à des connaissances en mathématiques (Algèbre commutative, Géométrie Algébrique réelle) et en informatique (complexité, implantations) et peut évoluer selon la sensibilité dela candidate ou du candidat vers des activités théoriques autant que vers des activités de transfert à l'attention de spécialistes de domaines connexes (Robotique, Théorie du contrôle).

Le sujet proposé porte sur la résolution des systèmes algébriques et semi algébriques définis à partir de polynômes de $\mathbb{Q}[X_1,\ldots,X_n]$, avec un point de départ sur les systèmes dépendant de paramètres et génériquement zéro-dimensionnel.

Pour les systèmes d'équations dépendant de paramètres, il existe un objet général calculable, la variété discriminante, permettant une partition de la projection de la variété étudiée sur l'espace des paramètres constituée d'une sous variété algébrique stricte et des ouverts simplement connexes constituant son complémentaire, avec la propriété que la variété définit un revêtement analytique qu dessus de chacun de ces ouverts.

En toute généralité, cet objet requiert une décomposition équi-dimensionnelle du système et engendre des calculs relativement couteux.

En imposant certaines contraintes sur le système, on peut faire l'économie de parties couteuses de calcul.

Par exemple, sur les systèmes provenant de problèmes d'ingénierie, la variété est le plus souvent équi-dimensionnelle car définie par autant déquations que d'inconnues qui ne soient pas des paramètres. Cette hypothèse pourra être prise pour base de travail dans un premier temps.

D'autres séries de contraintes, par exemple de stabilité de l'algèbre quotient associée au système, en fonction de la variation des paramètres, peuvent être envisagées dans certains cas, par exemple pour une étude de petits mouvements de robots parallèles. Ce type d'hypothèses particulièrement restrictives doit permettre de résoudre des systèmes plus conséquents.

La description des solutions, et en particulier son utilisation dans des domaines scientifiques connexes, sera également une préoccupation majeure. Par exemple, une décomposition cylindrique algébrique de l'espace des paramètres en fonciton de la variété discriminante permet une description très complète (décompostion en cellules permettant une description locale analytique des solutions) mais très couteuse à calculer. A l'opposé, le calcul d'un point par composante connexe du complémentaire de la variété discriminante est plus facile à calculer mais ne répond qu'à peu de questions (existance de nolutions, nombre maximal de solutions).

Une façon brutale de traiter les inéquations est d'aumenter le nombre de variables du système pour se ramener à l'étude de systèmes d'équations. Ce genre de raccourci peut cependant être opéré astucieusement en pratique, par exemple en considérant des blocs de variables pour les calculs d'élimination.  

Le fait d'être en mesure de traiter des systèmes dépendant de paramètres, avec ou sans inégalités/inequations, permet d'étendre les problèmes abordés comme l'élimination de bloc de quantificateurs, les calculs de dimension réelle, etc.

De très nombreuses applications peuvent être appréhendées, particulièrement en cinématique, en particulier pour la cinématique des robots parallèles qui est, pour notre équipe, un sujet au centre d'une collaboration industrielle avec Safran.

Le sujet est multi-facettes et permettra à la candidate ou au candidat de pouvoir choisir un chemin plus ou moins mathématique, plus ou moins appliqué, plus ou moins informatique selon ses goûts et capacités.

**Quelques références :**

- Solving parametric polynomial systems, Daniel Lazard, Fabrice Rouillier
Journal of Symbolic Computation, 2007, 42 (6), pp.636-667. ⟨10.1016/j.jsc.2007.01.007⟩

- Properness Defects of Projection and Minimal Discriminant Variety. Guillaume Moroz. Journal of Symbolic Computation, vol. 46(10), pages 1139 - 1157, 2011-10. [hal]

- Algorithms in Real Algebraic Geometry (Algorithms and Computation in Mathematics, Basu, Saugata and Pollack, Richard and Roy, Marie-Fran\c{c}oise, 2006, Springer-Verlag.

Exemples d'activités :

• étude , choix ou mise au point d'objects calculables poru l'étude des systèmes algébrique
• classification des algorithmes (complexité des objets et de leur calcul)
• implantations
• modélisation et résolution de problèmes de robotique et/ou de théorie du contrôle.

• Restauration subventionnée
• Transports publics remboursés partiellement
• Congés: 7 semaines de congés annuels + 10 jours de RTT (base temps plein) + possibilité d'autorisations d'absence exceptionnelle (ex : enfants malades, déménagement)
• Possibilité de télétravail
• Aménagement du temps de travail (après 12 mois d'ancienneté)
• Équipements professionnels à disposition (visioconférence, prêts de matériels informatiques, etc.)
• Prestations sociales, culturelles et sportives (Association de gestion des œuvres sociales d'Inria)
• Accès à la formation professionnelle
• Sécurité sociale

Salaire mensuel brut : 2100 € la première et la deuxième année. 2190 € la dernière année.