Doctorant F/H [Campagne Doctorant] Une méthode 4D-VAR pour la reconstruction de la pression sanguine

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Type de contrat : CDD

Niveau de diplôme exigé : Bac + 5 ou équivalent

Fonction : Chercheur contractuel

Contexte et atouts du poste

L'assimilation de données sous la contrainte d'une équation aux dérivées partielles (EDP) est un domaine de recherche actif en mathématiques. Diverses applications peuvent être trouvées dans des domaines tels que la médecine, la météorologie, la géophysique et l'océanographie. Dans tous ces cas, il est difficile d'obtenir des mesures dans tout le domaine d'intérêt. On peut alors utiliser un modèle mathématique pour compléter les mesures partielles dont on dispose. Dans le présent projet, nous souhaitons appliquer de telles méthodes à la reconstruction de pression sanguine à partir de mesures de vitesse de type imagerie à résonnance magnétique (IRM). Ce type de méthode peut être utilisée pour diagnostiquer une coartation de l'aorte.

La coarctation de l'aorte est un rétrécissement localisé de l'aorte qui entraine,entre autres, une hypertension artérielle et un effort important sur le ventricule gauche du coeur. Dans les cas les plus sévères, ce dernier peut être endommagé. Pour choisir le traitement adapté, il est important de connaitre la sévérité de la déformation. Celle-ci est en général évaluée par le saut de pression sanguine qu'engendre le rétrécissement de l'aorte. Cette donnée n'est pas disponible en pratique. Cependant, des données du champ de vitesse du sang sont accessibles de manière non invasive par le biai d'une IRM-4D. Le but est donc de combiner un modèle d'écoulement sanguin, tel que les équations de Navier-Stokes, avec les données de vitesses mesurées pour avoir une bonne estimation de la pression dans la zone d'intérêt.

L'objectif de cette thèse est d'aborder ce problème à l'aide d'une méthode variationelle 4D (4D-VAR). Dans ce type de méthode, le temps est considéré comme une variable similaire à l'espace et l'on résout tous les pas de temps d'un seul coup (il n'y a pas de mécanisme de marche en temps). Le coût d'une telle méthode est compensé par sa précision supérieure comparé à des méthodes alternatives. Cette thèse repose sur l'expertise du directeur de thèse dans le développement de ce type de méthode et sur l'expertise de l'équipe COMMEDIA concernant la reconstruction de pression dans les vaisseaux sanguins, et plus généralement les applications bio-médicales.

Cette thèse se déroulera dans le cadre d'un partenariat avec l'University College London (UCL) à Londres. Des séjours courts seront planifiés à plusieurs moments de la thèse.

Mission confiée

La thèse sera structurée autour de trois axes de travail. Premièrement, une méthode numérique de type éléments finis devra être développée pour résoudre le problème numérique d'assimilation de données dans le cadre d'une équation de fluide incompressible du type Stokes. Ce travail reposera sur des premiers résultats en la matière du directeur de thèse et comportera principalement de l'analyse numérique. Cette méthode sera validée sur des cas tests académiques dans lesquels la solution analytique est connue. Deuxièmement, le(la) candidat(e) devra tester des méthodes de préconditionement pour améliorer le conditionnement de la méthode numérique développée. En effet, des travaux précédents ont montré que ce type de méthode générait des matrices très mal conditionnées. L'utilisation d'un bon préconditionneur est nécessaire pour pouvoir attaquer des problèmes réalistes, notamment dans le cas d'une géométrie tridimentionnelle en espace. Enfin, des tests devront être menés sur une géométrie réaliste de l'aorte pour laquelle on se donnera un champ de vitesse correspondant à un écoulement généré synthétiquement. On cherchera à établir la précision de la méthode, notamment en présence de bruit sur les données. Des comparaisons pourront être établies avec d'autres méthodes de référence. Les critères de comparaison reposeront notamment sur l'espace mémoire utilisé, le temps de calcul et la précision de la méthode.

Principales activités

Une étude bibliographique des méthodes numériques permettant la résolution de problèmes d'assimilation de données permettra au (à la) candidat(e) de prendre en main les éléments d'analyse numérique permettant le développement de telles méthodes. Plus généralement, une étude bibliographique sera menée sur tous les différents aspects de la thèse. La méthode développée devra être implémentée dans le logiciel FELiScE de l'équipe COMMEDIA, où des premiers tests pourront être menés dans des configurations académiques dans lesquelles une solution analytique non-physique pourra être considérée pour valider cette première étape. Dans la suite, l'utilisation d'une bibliothèque de préconditonnement permettra de tester différents préconditonneurs et en trouver un adapté au problème. Une fois que la méthode sera implémentée et que des préconditonneurs seront disponibles, des tests devront être menés sur le problème cible de l'aorte. Des comparaisons pourront être établies avec des méthodes de référence pour la résolution de ce problème.

Avantages

  • Restauration subventionnée
  • Transports publics remboursés partiellement
  • Congés: 7 semaines de congés annuels + 10 jours de RTT (base temps plein) + possibilité d'autorisations d'absence exceptionnelle (ex : enfants malades, déménagement)
  • Possibilité de télétravail
  • Aménagement du temps de travail (après 12 mois d'ancienneté)
  • Équipements professionnels à disposition (visioconférence, prêts de matériels informatiques, etc.)
  • Prestations sociales, culturelles et sportives (Association de gestion des œuvres sociales d'Inria)
  • Accès à la formation professionnelle
  • Sécurité sociale

Rémunération

Salaire mensuel brut : 2100 € la première et la deuxième année. 2190 € la dernière année.